复数在这里和其他问题上获得了出人意料的成功,这在很大程度上消除了将数系进一步拓展到复平面以外的需求。事实上,要想构造一个范围更大的数字系统,从而在包含C的同时又保留代数中所有的常规法则,这是不可能实现的。并且,只有两个推广的系统能做到保留一些代数结构,即四元数(quaternion)和八元数(octonion)。虽然它们的使用不如复数来得广泛,但是四元数在某些领域中得到了应用,比如三维计算机图形学。八元数可以看作一对四元数,它们不仅缺乏乘法的可交换性,甚至连乘法的可结合性质也丢失了。
一个四元数是形如z=a+bi+cj+dk的数,第一部分a+bi是一个普通的复数,同时两个四元数单位(quaternion unit)j和k满足j2=k2=-1。为了进行四元数的乘法,我们需要知道虚单位量如何相乘,这由以下规则决定:ij=k,jk=i,ki=j。反过来的积拥有相反的符号,比如ji=-k。其实,所有这些积都可以通过一个额外的方程:ijk=-1来推出。于是,四元数构成了一个增广了的代数系统,这个系统满足除乘法交换律以外的所有代数法则,失去交换律的原因在于上面提到的反向相乘时符号的变化。这个系统的相容性也可以通过2×2的矩阵表达来显示,不过这次我们不仅有实的元素,同时还允许出现复元素。数1再一次对应于单位矩阵I,但是单位量i,j和k则对应于矩阵: