复数在这里和其他问题上获得了出人意料的成功，这在很大程度上消除了将数系进一步拓展到复平面以外的需求。事实上，要想构造一个范围更大的数字系统，从而在包含C的同时又保留代数中所有的常规法则，这是不可能实现的。并且，只有两个推广的系统能做到保留一些代数结构，即四元数（quaternion）和八元数（octonion）。虽然它们的使用不如复数来得广泛，但是四元数在某些领域中得到了应用，比如三维计算机图形学。八元数可以看作一对四元数，它们不仅缺乏乘法的可交换性，甚至连乘法的可结合性质也丢失了。
一个四元数是形如z=a＋bi＋cj＋dk的数，第一部分a＋bi是一个普通的复数，同时两个四元数单位（quaternion unit）j和k满足j2=k2=-1。为了进行四元数的乘法，我们需要知道虚单位量如何相乘，这由以下规则决定：ij=k，jk=i，ki=j。反过来的积拥有相反的符号，比如ji=-k。其实，所有这些积都可以通过一个额外的方程：ijk=-1来推出。于是，四元数构成了一个增广了的代数系统，这个系统满足除乘法交换律以外的所有代数法则，失去交换律的原因在于上面提到的反向相乘时符号的变化。这个系统的相容性也可以通过2×2的矩阵表达来显示，不过这次我们不仅有实的元素，同时还允许出现复元素。数1再一次对应于单位矩阵I，但是单位量i，j和k则对应于矩阵：